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La philosophie des mathématiques est l'étude philosophique des concepts et des méthodes mathématiques. Elle s'intéresse à la nature des nombres, des objets géométriques et des autres concepts mathématiques, à leurs origines cognitives et à leur application à la réalité. Elle traite de la validation des méthodes d'inférence mathématique. En particulier, il traite des problèmes logiques associés à l'infinitude mathématique.
Parmi les sciences, les mathématiques ont une relation unique avec la philosophie. Depuis l'Antiquité, les philosophes envient les mathématiques comme le modèle de la perfection logique, en raison de la clarté de leurs concepts et de la certitude de leurs conclusions, et ont donc consacré beaucoup d'efforts à expliquer la nature des mathématiques.
Ce guide d'étude recommande des sources qui fournissent une introduction aux questions majeures de la philosophie des mathématiques et aux points de vue historiquement importants sur ces questions. Une certaine familiarité avec les mathématiques est indispensable pour réfléchir à ces questions. Le livre What is Mathematics, de Richard Courant et Herbert Robbins, est un brillant exposé des sujets et des méthodes des mathématiques modernes. Le livre est destiné aux profanes, mais rien de l'essence des mathématiques n'a été omis ; ce n'est pas un livre simple, mais il est gratifiant.
La plupart des philosophes ont présenté leur point de vue sur les mathématiques dans des ouvrages traitant de sujets plus généraux. L'anthologie Philosophy and Mathematics de Robert Baum contient des sélections sur les mathématiques de la plupart des grands philosophes occidentaux, de Platon à Mill. Les sélections contiennent suffisamment de matériel pour fournir un contexte pour les opinions de chaque philosophe sur les mathématiques, et les essais introductifs de Baum retracent les influences philosophiques sur chaque penseur.
Les points de vue les plus influents ont été ceux de Platon et de Kant, et Baum consacre une section à chacun d'entre eux. Les objectivistes intéressés pourront compléter la section de Baum sur Aristote en consultant le livre de Thomas Heath, Mathematics in Aristotle. Le livre de Baum contient également quelques essais modernes, dont "The Elusiveness of Sets" de Max Black, une critique de l'épistémologie des théoriciens des ensembles, qui vaut la peine d'être lue.
La théorie de la mécanique de Newton, et son invention du calcul intégral et différentiel pour la soutenir, comptent parmi les plus grandes réalisations de l'histoire. L'idée centrale de limite est logiquement subtile (c'est cette subtilité qui rend le paradoxe d'Achille de Zénon perplexe), et Newton n'a pas traité les limites de manière rigoureuse. Ses détracteurs, en particulier Berkeley, ont fait grand cas de cette lacune. Cauchy, Weierstrass et d'autres mathématiciens du XIXe siècle ont développé une théorie rigoureuse des limites, qui a fourni une base inattaquable à la théorie de Newton et constitue la pierre angulaire de l'analyse mathématique moderne. Cette réussite épistémologique est bien racontée dans l'ouvrage de Carl Boyer intitulé The History of the Calculus and Its Conceptual Development (L'histoire du calcul et son développement conceptuel).
L'idée d'un problème bien posé, introduite par le mathématicien Jacques Hadamard, est un autre joyau logique qui constitue un élément central de l'analyse mathématique moderne. Lorsqu'un nouveau problème mathématique est proposé, la première tâche des mathématiciens est d'établir que le problème a une solution, qu'il n'a qu'une seule solution et que la solution dépend de manière raisonnable des données (par exemple, si l'équation relie la tension à l'éclairage dans une ampoule, une augmentation minime de la tension ne devrait entraîner qu'une faible augmentation de l'éclairage).
Un problème qui possède ces propriétés est dit "bien posé". Lorsque les mathématiciens établissent qu'un problème mathématique est bien posé, ils s'assurent qu'il s'agit d'une question raisonnable à poser avant d'essayer d'y répondre. Les chercheurs de nombreux autres domaines seraient bien avisés d'adopter des habitudes épistémologiques aussi prudentes. Malheureusement, il n'existe pas d'introduction philosophique à ce sujet.
L'opinion courante est que les mathématiques ont traversé une série de crises logiques ou épistémologiques qui leur ont causé de graves dommages. Pour un historique de ces "crises" (par exemple l'invention de la géométrie non-euclidienne et la découverte des paradoxes de la théorie des ensembles) et une étude approfondie des questions de philosophie mathématique moderne, voir Mathematics : The Loss of Certainty de Morris Kline. Kline était mathématicien ; ce livre reflète fidèlement le type d'attitude que l'on rencontre chez les praticiens, et il est bien documenté avec des mathématiques pertinentes.
Pour déterminer si les fondements d'un sujet sont défectueux, il faut d'abord répondre à la question épistémologique plus fondamentale de savoir ce qui constitue un fondement adéquat. La position objectiviste selon laquelle toute connaissance doit être fondée sur la perception, saisie et organisée de manière conceptuelle, n'a joué pratiquement aucun rôle dans le développement historique de la philosophie des mathématiques. La première tâche d'une approche objectiviste est de fonder objectivement les mathématiques. Une tâche secondaire importante est d'expliquer comment d'autres présupposés épistémologiques ont provoqué le sentiment de crise et de doute qui a caractérisé le domaine.
L'ouvrage de Stephan Korner, The Philosophy of Mathematics, an Introductory Essay, est moins détaillé sur le plan historique et mathématique que celui de Kline, mais il est plus sophistiqué sur le plan philosophique. Korner consacre deux chapitres chacun - un exposé et un critique - à chacune des trois principales écoles de pensée modernes sur la philosophie mathématique : les formalistes, les logicistes et les intuitionnistes. La présentation de Korner est claire, concise et impartiale.
L'école logiciste, dont les figures centrales sont Bertrand Russell et Gottlob Frege, avait pour objectif de "réduire les mathématiques à la logique". L'Introduction à la philosophie mathématique de Russell est une introduction non technique au programme logiciste. La conception logiciste de la logique est radicalement différente de la conception objectiviste ou, plus généralement, de la conception aristotélicienne de la logique, et c'est une vision de la logique présupposée dans la plupart des philosophies mathématiques modernes. L'Introduction de Russell est un exposé exceptionnellement clair de cette conception de la logique et de son application aux mathématiques. Elle est précieuse en tant que guide des prémisses qu'une approche objective des fondements des mathématiques devra remettre en question.
Les travaux de Henry Veatch, notamment Intentional Logic, critiquent la conception de la logique de Russell dans une perspective aristotélicienne. Veatch part d'un principe avec lequel l 'objectivisme est d'accord, à savoir que la conscience est intentionnelle, qu'elle est toujours sur ou à propos d'un monde qui existe et a une identité indépendamment de la conscience.
L'école formaliste a été fondée par le mathématicien David Hilbert. Les formalistes cherchent à exprimer les mathématiques comme des systèmes logiques strictement formels et à les étudier en tant que tels, sans se préoccuper de leur signification. (Contrairement aux logicistes, qui cherchent à établir le sens des notions mathématiques en les définissant en termes de concepts logiques). Leur motivation première était de justifier les mathématiques des ensembles infinis, développées par Georg Cantor à la fin du 19e siècle. Les formalistes espéraient exprimer les mathématiques des ensembles infinis dans un tel système et établir la cohérence de ce système par des méthodes finies. S'ils y parvenaient, pensaient-ils, ils auraient justifié l'utilisation des ensembles infinis sans avoir à se pencher sur l'épineuse question de la nature de ces ensembles.
L'approche formaliste est expliquée et illustrée dans La preuve de Godel d' Ernest Nagel et James Newman. Ce petit livre est un chef-d'œuvre qui rend accessible à des non-spécialistes un matériel sophistiqué. Le livre commence par une exposition du formalisme et se termine par un aperçu très lisible de la preuve du théorème d'incomplétude de Kurt Godel. Ce théorème a montré, selon les termes mêmes des formalistes, que leur programme était indéfendable.
Les intuitionnistes, dont le chef de file était le mathématicien L.E.J. Brouwer, sont surtout connus pour leur conservatisme à l'égard de l'infinitude mathématique. Ils s'opposent à l'application de la loi du milieu exclu aux énoncés impliquant des infinités mathématiques, comme dans une preuve qui prend la forme suivante : soit il existe un nombre ayant la propriété P, soit il n'en existe pas ; sinon, il s'ensuit une conséquence que l'on sait être fausse ; donc il existe un nombre ayant la propriété P. De telles preuves ne nous disent pas ce qu'est le nombre en question, ni pourquoi il a cette propriété. Les preuves constructives, en revanche, fournissent ces informations, et les intuitionnistes exigent des preuves constructives des théorèmes mathématiques.
Les intuitionnistes trouvent leurs racines philosophiques chez Kant. Pourtant, leur prudence à l'égard de l'infini devrait séduire les objectivistes. Leur position sur la loi du milieu exclu peut être interprétée comme une exigence qu'un énoncé soit établi comme significatif avant que les lois de la logique ne lui soient appliquées, une exigence que l'objectivisme approuve certainement. Leur insistance sur les preuves constructives peut être considérée comme un moyen de spécifier ce que l'on entend par l'existence d'un nombre.
Malheureusement, les intuitionnistes ne sont pas toujours clairs sur le sens et les fondements philosophiques de leurs positions ; ils s'attachent aux détails mathématiques au détriment de l'exposé philosophique. Il n'y a pas d'introduction comme celle de Russell ou de Nagel et Newman. Plusieurs articles d'intuitionnistes - Brouwer, Heyting et Dummett - figurent dans le recueil Philosophy of Mathematics, Selected Readings, édité par Paul Benacerraf et Hilary Putnam. L'introduction de ce volume contient également une discussion claire des principes intuitionnistes.
Une bonne compréhension de l'abstraction est une condition préalable à l'explication des concepts mathématiques. Les théories historiques des concepts mathématiques ont eu tendance à incarner les pires aspects des théories historiques des universaux ; le réalisme platonicien, l'idéalisme kantien et le nominalisme extrême dominent le sujet.
L'identification par Ayn Rand de la nature des universaux et son analyse du processus d'abstraction ont beaucoup à apporter à la philosophie des mathématiques. Il n'existe cependant pas de littérature objectiviste sur ce sujet. Une indication d'une approche objectiviste du sujet est donnée dans l'essai "The Cognitive Basis of Arithmetic" de David Ross. Les commentaires d'Ayn Rand sur divers sujets mathématiques sont contenus dans l'appendice de l'édition 1990 de l' Introduction à l'épistémologie objectiviste.
L'objectivisme reconnaît un lien plus profond entre les mathématiques et la philosophie que les défenseurs d'autres philosophies ne l'ont imaginé. Selon la théorie d'Ayn Rand, le processus de formation des concepts implique la saisie des relations quantitatives entre les unités et l'omission de leurs mesures spécifiques. Elle place ainsi les mathématiques au cœur de la connaissance humaine, en tant qu'élément crucial du processus d'abstraction. Il s'agit là d'une vision radicalement nouvelle du rôle des mathématiques dans la philosophie. Comme l'a dit Leonard Peikoff dans Objectivism : The Philosophy of Ayn Rand :
Ainsi, un domaine qu'une philosophie objectiviste des mathématiques doit aborder est la signification et la structure de la mesure dans la théorie de l'omission de mesure ; ce sous-domaine de la philosophie des mathématiques pourrait être appelé les mathématiques de la philosophie. Pour le point de vue objectiviste, voir les discussions de Rand dans Introduction to Objectivist Epistemology (Introduction à l'épistémologie objectiviste), Peikoff's Objectivism : The Philosophy of Ayn Rand de Peikoff, et "A Theory of Abstraction" de David Kelley.
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